Millennium Problem Sinhala

සහස්‍ර ගැටලු(Millennium Problems) යනු 2000 දී Clay Mathematics Institute (CMI) විසින් ඉදිරිපත් කරන ලද අභියෝගාත්මක සහ වැදගත් ප්‍රශ්න හතක එකතුවකි. CMI විසින් ගණිතඥයකු විසින් විසඳන සෑම ගැටලුවක් සඳහාම ඇමෙරිකානු ඩොලර් මිලියනයක ත්‍යාගයක් පිරිනමා ඇත. ගැටළු සංඛ්‍යා න්‍යාය(Number Theroy), වීජීය ජ්‍යාමිතිය (Algebraic Geometry), ස්ථල විද්‍යාව(Topology), විශ්ලේෂණය (Analysis) සහ පරිගණක විද්‍යාව(Computer Science) වැනි ගණිතයේ විවිධ ක්ෂේත්‍ර ආවරණය කරයි. මෙම බ්ලොග් සටහනේදී, අපි එක් එක් ගැටළු පිළිබඳ කෙටි දළ විශ්ලේෂණයක් සහ ඒවා ගණිතයට සහ ඉන් ඔබ්බට සිත්ගන්නාසුළු සහ අදාළ වන්නේ මන්දැයි දෙන්නෙමු.

• පළමු ගැටළුව වන්නේ ඉලිප්සීය වක්‍ර(Elliptic Curve) සමඟ කටයුතු කරන Birch සහ Swinnerton-Dyer අනුමානයයි(Birch and Swinnerton-Dyer conjecture). මේවා විචල්‍ය දෙකකින් ඝනජ සමීකරණ මගින් නිර්වචනය කරන ලද වක්‍ර වන අතර ඒවාට ගුප්ත විද්‍යාව(Cryptography), සාධකකරණය(factorization) සහ ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය සනාථ කිරීමේ බොහෝ යෙදුම් ඇත. අනුමානය මගින් ඉලිප්සීය වක්‍රයක තාර්කික විසඳුම් ගණන L-ශ්‍රිතය(L-functions) නම් විශේෂ ශ්‍රිතයකට සම්බන්ධ කරයි. බොහෝ උදාහරණ සඳහා උපකල්පනය සත්‍යාපනය කර ඇත, නමුත් සාමාන්‍ය සාක්ෂියක් තවමත් නොමැත.
  
  
• දෙවන ගැටළුව වීජීය ප්‍රභේද ගැන සැලකිලිමත් වන හොජ් අනුමානයයි(Hodge conjecture). මේවා විචල්‍ය කිහිපයකින් බහුපද සමීකරණ මගින් නිර්වචනය කරන ලද ජ්‍යාමිතික වස්තු වන අතර වීජීය ජ්‍යාමිතිය තුළ ඒවා මූලික වේ. වීජීය ප්‍රභේදයක ඇතැම් ස්ථාන විද්‍යාත්මක ලක්ෂණ වීජීය සමීකරණ මගින්ද විස්තර කළ හැකි බව අනුමානයේ සඳහන් වේ. සමහර විශේෂ අවස්ථා වලදී උපකල්පනය සත්‍ය බව දන්නා නමුත් පොදුවේ නොවේ.
  
  
• තෙවැනි ගැටලුව වන්නේ තරලවල චලිතය විස්තර කරන අර්ධ අවකල සමීකරණ ඇතුළත් වන Navier-Stokes පැවැත්ම සහ සුමටතාවය පිළිබඳ ගැටලුවයි. මෙම සමීකරණ භෞතික විද්‍යාව, ඉංජිනේරු විද්‍යාව, කාලගුණ විද්‍යාව සහ අනෙකුත් ක්ෂේත්‍රවල කැළඹිලි, තරංග සහ වායුගතික විද්‍යාව වැනි සංසිද්ධි ආකෘතිකරණය සඳහා බහුලව භාවිතා වේ. කිසියම් ආරම්භක කොන්දේසි සඳහා මෙම සමීකරණ සඳහා සුමට විසඳුම් තිබේද, නැතහොත් තරල ප්‍රවාහයේ ඒකීයත්වයන් හෝ අඛණ්ඩතාවන් තිබිය හැකිද යන්න ගැටළුව අසයි.
  
  
• සිව්වන ගැටළුව වන්නේ පරිගණක විද්‍යාවේ වඩාත් ප්‍රසිද්ධ විවෘත ගැටළු වලින් එකක් වන P එදිරිව NP ගැටළුවයි(P Vs NP Problem). පරිගණකයකින් කාර්යක්ෂමව විසඳිය හැකි ගැටළු (P ගැටළු) සහ පරිගණකයකින් කාර්යක්ෂමව සත්‍යාපනය කළ හැකි ගැටළු (NP ගැටළු) අතර මූලික වෙනසක් තිබේදැයි එය අසයි. උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරයක හැමිල්ටෝනියානු මාර්ගයක් සොයා ගැනීම NP ගැටළුවකි, නමුත් ලබා දී ඇති මාර්ගයක් Hamiltonian ද යන්න පරීක්ෂා කිරීම P ගැටළුවකි. P සමාන වන්නේ NP නම්, සෑම NP ගැටළුවක්ම පරිගණකයකින් කාර්යක්ෂමව විසඳාගත හැක. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ පරිගණක විද්යාඥයින් විශ්වාස කරන්නේ මෙය එසේ නොවන බවයි.
  
  
• පස්වන ගැටලුව වන්නේ 2003 දී Grigori Perelman විසින් විසඳන ලද Poincaré අනුමානයයි. මෙය මෙතෙක් විසඳා ඇති පළමු සහ එකම සහස්‍ර ගැටලුව වන අතර Perelman ට Fields Medal සහ Millennium ත්‍යාගය පිරිනමන ලදී. කෙසේ වෙතත්, ඔහු එම ගෞරව දෙකම ප්‍රතික්ෂේප කළේය. උපකල්පනය අපගේ ත්‍රිමාණ අවකාශය මෙන් දේශීයව පෙනෙන අවකාශයන් වන ත්‍රිමාන බහුවිධ වර්ගීකරණය ගැන ය. ඕනෑම සරලව සම්බන්ධ වූ ත්‍රිමාණ බහුවිධයක් ගෝලයකට සමාන බව අනුමානයේ සඳහන් වේ.
  
  
• හයවන ගැටලුව වන්නේ රීමන් කල්පිතය(Riemann Hypothesis) වන අතර එය ගණිතයේ වඩාත්ම ප්‍රසිද්ධ නොවිසඳුනු ගැටලුව වේ. එය අංක ගණිතයේ ගොඩනැඟිලි කොටස් වන ප්‍රථමික සංඛ්‍යා ව්‍යාප්තිය සම්බන්ධයෙනි. Riemann zeta ශ්‍රිතය නම් වූ සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක සුළු නොවන ශුන්‍ය සියල්ලටම එකහමාරකට සමාන සැබෑ කොටසක් ඇති බව උපකල්පනය පවසයි. මෙය ප්‍රාථමික සහ ඒවායේ රටා පිළිබඳ බොහෝ ගැඹුරු ප්‍රතිඵල ඇඟවුම් කරයි. කල්පිතය සංඛ්‍යාත්මකව ශුන්‍ය බිලියන ගණනක් සඳහා පරීක්‍ෂා කර ඇත, නමුත් දැඩි සාක්ෂියක් නොපැහැදිලි වේ.
  
  
• හත්වන සහ අවසාන ගැටලුව වන්නේ ක්වොන්ටම් භෞතික විද්‍යාවෙන් ආරම්භ වූ යැං-මිල්ස් පැවැත්ම සහ ස්කන්ධ පරතරය ගැටළුවයි. විද්‍යුත් චුම්භකත්වය සහ න්‍යෂ්ටික බල වැනි බල හරහා මූලික අංශුවල අන්තර්ක්‍රියා විස්තර කරන සමීකරණ පන්තියක් එයට ඇතුළත් වේ. මෙම සමීකරණ මත පදනම් වූ ගණිතමය වශයෙන් ස්ථාවර න්‍යායක් තිබේද යන්න සහ මෙම අංශුවල ශක්තිය සඳහා ධනාත්මක පහළ සීමාවක් තිබේද යන්න ගැටළුව විමසයි. මෙම අංශුවලට ස්කන්ධයක් ඇත්තේ මන්දැයි සහ ඒවා අඩු ශක්ති තත්ත්‍වයට ක්ෂය නොවන්නේ මන්දැයි මෙයින් පැහැදිලි වේ.

දශක දෙකකට වැඩි කාලයක් ගණිතඥයන් වසඟ කළ සහස්‍ර ගැටලු හත මෙයයි. ඒවා අද ගණිතයේ ඇති දුෂ්කරම සහ ගැඹුරු අභියෝග කිහිපයක් නියෝජනය කරන අතර, ඒවායේ විසඳුම් විද්‍යාවට සහ තාක්ෂණයට ඉමහත් බලපෑමක් ඇති කරයි. මෙම ගැටළු පිළිබඳව වැඩිදුර ඉගෙන ගැනීමට ඔබ කැමති නම්, ඔබට CMI වෙබ් අඩවියට පිවිසීමට හෝ ඒවා පිළිබඳ පොත් හෝ ලිපි කියවිය හැකිය. ඔබට ඒවා ඔබම විසඳීමට උත්සාහ කළ හැකිය, නමුත් අවවාද කරන්න: ඒවා පහසු නැත!