චෙස් ක්‍රීඩාව හා බැදුණු ගණිතමය පුරාවෘත්තය (The Mathematical Legend of Chess Game)

චෙස් පුරාණයේ සිට පැවතෙන මේ වන විට ලෝකයේ ජනප්‍රියම ක්‍රීඩාවකි. චෙස් ක්‍රීඩාව හා බැඳුනු ඉතාමත් රසවත් පුරාවෘත්තයක් ඇත. මෙම පුරාවෘත්තය පිළිබඳව දැනගැනීමට චෙස් ක්‍රීඩාව පිළිබඳව දැනීමක් අවශ්‍ය නැත. එම ක්‍රීඩාව කරන්නේ සුදු පාට හා කළු පාට කොටු 64 ක් ඇති චෙස් පුවරුවක් මත බව දැන ගැනීම පමණක් සෑහේ. 

චෙස් ක්‍රීඩාව ප්‍රථමයෙන්ම සොයා ගන්නා ලද්දේ වසර 1500 ක ට පෙර ඉන්දියාවේ දී ය. අතීතයේදී මෙම ක්‍රීඩාව චතුරංග ක්‍රීඩාව නමින් හඳුන්වන ලදී. එය සොයාගන්නා ලද්දේ සේෂ නමින් හැඳින්වූ පඬිවරයෙකි. ඉන්දියානු මහරාජා  ශ්‍රි රාම් චෙස් ක්‍රිඩාව ඉගෙන ගත් විට එහි බුද්ධිමත් ක්‍රිඩා ක්‍රමය පිළිබඳව ඔහු මහත් පුදුමයට පත්විය. මෙම ක්‍රීඩාව සොයාගන්නා ලද්දේ තම යටත් වැසියකු බව දැනගත් මහරාජා මෙම නිර්මාණය සාර්ථකව නිර්මාණය කිරිම සදහා තම අතින්ම පුද පඬුරු ලබාදීමට සේෂ පඬිතුමා ව මාලිගාවට කැඳවූයේය. ඔහු චාම් ලෙස හැඳ සිටි පඬිවරයෙක් වන අතර ඔහු ගෝලයන්ගෙන් ලැබුණු ගුරුපඬුරු වලින් තම ජීවිකාව ගෙන ගියේය.

“සේෂ ඔබ සොයා ගත් මෙම අපූර්ව ක්‍රීඩා සඳහා ඔබට තුටුපඬුරු සම්මාන ලබාදීමට මම කැමතියි.” මහරාජා කීවේය.

පඬිතුමා රජතුමාට හිස නමා ආචාර කළ අතර  ඔහු එකවරම රජතුමාගෙන් කිසිවක් නො ඉල්ලුවේය.

“ඔබේ ඕනෑම ඉල්ලීමක් ඉටු කිරීමට තරම් සම්පත් මා ළඟ තියෙනවා ඔබ කැමති තෑග්ගක් ඉල්ලන්න. එය ඔබට ලබාදෙන්නමි.”

සේෂ මුනිවත රැක්කේය.

“බිය නොවන්න ඔබේ කැමැත්ත දන්වන්න මම එය මහා නොවළහා ඉටු කරන්නෙමි.” මහරාජා ඔහුව කුළු ගැන්වූයේ ය.

“රජතුමනි ඔබතුමා ඉතා කරුණාවන්තයි. ඔබගේ ත්‍යාගවන්තභාවයට  ස්තුතිවන්ත වෙමි. මට කල්පනා කිරීමට කාලය අවශ්‍යයි. හෙට මගේ ඉල්ලීම ඔබට දන්වන්නම්.”

ඊට පසු දින සේෂ පඬිතුමා රජතුමා ඉදිරියට පැමිණ තමාගේ ඉල්ලීම ඉල්ලුවේය. එම පුදුමාකාර ඉල්ලීම නිසා මහරජා පුදුමයට පත්විය.

“මහරජතුමනි චෙස් පුවරුවේ පළවෙනි කොටුව සඳහා එක තිරුඟු ධාන්‍ය ඇටයක් දෙන්න” සේෂ පඬිවරයා තම ඉල්ලීම් ඉදිරිපත් කළේය.

“නිකන්ම තිරුඟු ඇටයක්” රජතුමා පුදුමයෙන් ප්‍රශ්න කළේය. 

"එසේය රජතුමනි! දෙවැනි කොටුව සදහා ධාන්‍ය ඇට දෙකක්, තුන්වෙනි කොටුව සඳහා ධාන්‍ය ඇට හතරක්, හතරවෙනි කොටුව සඳහා ධාන්‍ය ඇට අටක්, පස්වන කොටුව සඳහා ධාන්‍ය ඇට දහසයක් හයවෙනි කොටුව සඳහා ධාන්‍ය ඇට තිස් දෙකක් ..."

"නවතිනු" රජතුමා කෝපයෙන් අණ කළේය.

"ඔබේ ඉල්ලීමට එකඟව දෙවැනි කොටුවට පළවෙනි කොටුව මෙන් දෙගුණයක් වශයෙන් දාම් ලෑල්ලේ කොටු 64 ටම ධාන්‍ය ඇට ඔබට ලැබේවි. එහෙත් ඔබේ ඉල්ලීම මගේ ත්‍යාගශිලිභාවයට කරන ලද විශල අපහාසයක්. ඔබ මෙවැනි කුඩා ත්‍යගයක් ඉල්ලීමෙන් මගේ කරුණාවන්තභාවයට නොසලකා හැරියා. පඬිවරයෙකු වශයෙන් ඔබේ මහරජතුමගේ ත්‍යාගශිලිභාවය පෙන්නුම් කිරිමට වඩා හොඳ  නිදර්ශනයක් දෙන්න ඔබට පුලුවන් කම තිබුනා. යන්න! මාගේ රාජ පුරුෂයෝ ඔබේ ධාන්‍ය මල්ල ගෙනවිත් දෙනවා ඇති."

සිනාහවකින් මුව සරසා ගත් සේෂ පඬිතුමා රජතුමාට ආචාර කොට මාලිගාවෙන් පිටවුනේය.

***

රජතුමාට දිවා භෝජනය ගන්නා විට චෙස් ක්‍රිඩාව නිර්මාණය කරන ලද පඬිතුමා සිහි විය. සේෂ පඬිතුමාගේ දුප්පත් තෑග්ග ඔහුට ලබුනේ දැයි මහරාජා මාලිගාවේ සේවකයෙකුගෙන් විමසුවේය. එම සේවකයා ධාන්‍යාගාරයට ගොස් එම පිළිබඳව සොයා බලා නැවත රජතුමාට කරුණු දැන්වූයේ ය.

"රජතුමනි!  ඔබට නියෝගයට අනුව කටයුතු සිදු වෙනවා රජකීය ගණිතඥයෝ අවශ්‍ය ගණනය කිරීම් කටයුතු කෙරෙමින් පවතිනවා"

මහරජා නළල රැළි ගන්වා කල්පනාවට වැටුණේය. තම නියෝග ඉටු කිරීමට පමා වීම  පිළිබඳව කනස්සල්ලට පත් වුණේ ය.

රාත්‍රී නින්දට යෑමට පෙර මහරාජා නැවත සේෂ පඬිතුමා ධාන්‍ය මල්ල රැගෙන රජවාසලින් පිටවුනේ දැයි විමසා බැලුවේය.

“මහරජතුමනි ඔබතුමාගේ රාජකීය ගණිතඥයෝ මහන්සි නොබලා ධාන්‍ය ගණන් කරනවා හෙට ඉර පායන්නට ප්‍රථම ගණන් කිරීම ඉවර කරනවා.”

"මොකද මෙපමණ වෙලා ගන්නේ?" රජතුමා ඉතාමත් කෝපයෙන් කෑගැසුවේය.

පසුදින උදෑසනම රාජකීය නායක ගණිතඥයා මාලිගාවට කැඳවා සේෂ පඬිතුමාගේ ධාන්‍ය මල්ල ලබා දුන්නේ දැයි විමසා බැලුවේය.

“රජතුමනි! සේෂ ලබාගන්න කැමති ධාන්‍ය ගණන අපි ගණන් බැලුවා. එම ගණන අති විශාලයි.”

“කොපමණ විශාල වූවත් මාගේ ධාන්‍යගාරය හිස් වෙන්නේ නෑ. පොරොන්දු වූ තෑග්ග දිය යුතුය.”

“එවැනි ඉල්ලීමක් ඉටු කිරීමට තරම් ඔබතුමාට ශක්තියක් නෑ. ඔබේ සියලුම ධාන්‍යාගාර වලත් සේෂ ඉල්ලූ තරම් ධාන්‍ය නැත. මුළු රාජධානියේම ධාන්‍යාගාර වල එතරම් ධාන්‍ය නැත. මුළු ලෝකෙම ධාන්‍යාගාර වලත් එපමණ ධාන්‍ය නැත. ඔබතුමා කැමතිනම් සේෂ පඬිතුමාගේ ඉල්ලූ ධාන්‍ය සංඛ්‍යාව ලබාදීමට මුළු ලෝකයේම කුඹුරු කිරීමටත්, මුහුදු හා සාගර ගොඩ කිරීමටත්, හිම කඳු හා අයිස් කඳු දිය කිරීමටත් අණ කරන්න. ඒ සියලුම ස්ථානවල ධාන්‍ය වපුරා එම කුඹුරු වලින් ලැබෙන ධාන්‍ය සේෂ දීමට අණ කරන්න.”

රාජකීය ගණිතඥයාගේ කතාවට රජතුමා පුදුමයට පත්විය.

“ඒ පුදුමාකාර සංඛ්‍යාව කුමක්ද? ” රජතුමා කල්පනා කරමින් රාජකීය ගණිතඥයා ගැන විමසුවේ ය.

එය 18 446 744 073 709 551 615

***

එම පුරාවෘත්තයේ සත්‍යයක් දැයි අපි නොදනිමු. එම පුරාවෘත්තයේ එන සේෂගේ තෑගි පඩුරු පිළිබඳව සලකා බලමු.

සේෂගේ තෑගි පඬුරේ විශාලත්වය දැනගැනීමට නම් 1,2,4,8,16…  ආදී වශයෙන් එකතු කළ යුතුය. 63 වන කොටුව සඳහා ලැබෙන ප්‍රතිඵලය දෙගුණය චෙස් පුවරුවේ 64 වන කොටුව සඳහා පඬිවරයාට ගෙවිය යුතු ධාන්‍ය ඇට සංඛ්‍යාව පෙන්නුම් කරයි.

දැන් සේෂගේ තෑගි පඬුරේ විශාලත්වය සොයා බලමු. වෙනත් වචන වලින් විස්තර කරන්නේනම්, මෙවැනි ශ්‍රේණියක සංඛ්‍යා එකතු කිරීම ලෙහෙසියෙන් කරන්නේ කෙසේද සොයා බලමු.

1+2+3+4+16+32+ ... ආදී වශයෙනි.

එම සංඛ්‍යාවල පහත දැක්වෙන විශේෂත්වය සොයා ගැනිම අපහසු නැත.

1   = 1
2   = 1+1
4   = (1+2)+1
8   = (1+2+4)+1
16 = (1+2+4+8)+1
32 = (1+2+4+8+16)+1

එම ශ්‍රේණියේ සෑම සංඛ්‍යාවකම, ඊට පෙර ඇති සංඛ්‍යාවල එකතුවට+1 සමාන බව ඔබට නිරීක්ශණය කරගත හැක. ඒ සඳහා අප කෙටි ක්‍රමයක් ද සාකච්ඡා කරමු.

උදාහරණයක් වශයෙන් මෙවැනි ශ්‍රේණියක 1 සිට 65 536 දක්වා එකතුව අවශ්‍ය යැයි සිතමු. එවිට අපි අවසාන සංඛ්‍යාවට (65536) ඊට පෙර ඇති සංඛ්‍යා සියල්ලම එකතු කරමු. එය වෙනත් වචන වලින් විස්තර කරන්නේ නම් එම සංඛ්‍යාවෙන්  එකක් අඩු කර  (65534-1) ලැබෙන ප්‍රතිඵලය එයටම එකතු කරමු.

65534+65533=131071

මේ ආකරයට අවසාන සංඛ්‍යාව දෙගුණ කර එකක් අඩු කිරීමෙන් ලෙහෙසියෙන් අපට ධාන්‍ය සංඛ්‍යාවේ එකතුව සොයාගත හැක. ඒ අනුව සංඛ්‍යාව ගණනය කළ යුත්තේ දෙකේ අංකය 64 වාරයක් ගුණකිරීමෙනි.

2×2×2×⋯×2  (64 වාරයක්)

වර්තමානයේ පවතින පරිගණක භාවිතා කර මෙය ඉතාමත් පහසුවෙන් ගණනය කරගත හැක. එම ලැබෙන ප්‍රතිඵලය එකක් අඩු කළ විට අපට අවශ්‍ය විසඳුම ලැබේ. එය

18 446 744 073 709 551 615

මෙම සංඛ්‍යාව විශාලත්වය සිතා ගැනීමට නම් මෙවැනි ධාන්‍ය ප්‍රමාණයක් රැස් කිරීම සඳහා අවශ්‍ය ධාන්‍යාගාරයේ  විශාලද සොයා බලමු. සාමාන්‍යයෙන්, එක ඝණ මීටරයක් පිරවීමට තිරිගු වැට ලක්ෂ 150 ක් පමණ අවශ්‍ය වේ. සේෂ පඬිතුමගේ තෑග්ග රැස් කිරිම සඳහා ආසන්න වශයෙන් ඝන මීටර් 12 000 000 000 000 අවශ්‍ය වේ. එනම් ඝන කිලෝමීටර් 12 000 ක ඉඩ ප්‍රමාණයක් අවශ්‍ය වේ. මීටර 4 ක් උස මීටර් 10 ක් පළල කිලෝමීටර 300 000 000 දිග ධාන්‍යාගාරය ක් අවශ්‍ය වේ. කිලෝමීටර් 300 000 000 යනු පෘථිවියේ සිට සූර්යාට ඇති දුර ප්‍රමාණය මෙන් දෙගුණයක්ය. දැන් ඔබට එම සේෂ පඬිතුමගේ තෑගි පඬුර විශාලත්වය පිළිබඳව අවබෝධයක් ඇත. ඉන්දියානු මහරාජා ගේ ධන්‍යාගාරවල ඇති ධාන්‍ය එවැනි තෑග්ගක් දීම සඳහා ප්‍රමාණවත් නොවීය.

මහරජතුමාට ගණිතය පිළිබඳ දැනුමක් ලබා තිබුණේ නම් එවැනි තෑග්ගක් සේෂ පඬිතුමාට ලබා දීමෙන් නිදහස්වීමට ඉඩකඩ තිබිණි. මහරජතුමාට නියෝග කිරීමට තිබුණේ සේෂ පඬිවරයාටම තමන්ට හිමි ධාන්‍ය ප්‍රමාණය ගණන් කිරීමට නියෝග කිරීම පමණි. එවිට සේෂ පඬිතුමා තත්පරයකට එක ධාන්‍ය ඇටය බැගින් ගණන් කිරීමට පටන් ගත්තේ නම් දිවා රෑ නොකඩවා ගණන් කළත් එක් දිනක් තුල ඔහුට ගැනීමට හැකිවන්නේ ධාන්‍ය ඇට 86400 කි. ධ්‍යාන ඇට ලක්ෂ දහයක් නොකඩවා ගණන් කිරීමට ආසන්න වශයෙන් දින දහයක් අවශ්‍ය වේ. එම නිසා එක් ධ්‍යාන ඝන මීටර ගණන් කිරීම සඳහා ඔහු අවම වශයෙන් ඔහුට මාස හයක් වත් ගත වෙයි. සේෂ පඬිතුමා තම ජීවිතයේ ඉතිරි කාලය ධාන්‍ය ගනන් කිරීම සඳහා වැය කළත් ඔහුට ලබා ගත හැක්කේ ඉල්ලුම් කළ ධාන්‍ය ප්‍රමාණය ඉතා සුළු කොටසකි.

මෙම ලිපිය සැකසීම සඳහා ආධාර කරගත් ග්‍රන්ථය : Y. Perelman ගේ Mathematics can be Fun ග්‍රන්ථය

 

 - A.J -