ගණිතමය අභිරහසක්: ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය

ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය (Fermat's Last Theorem) යනු ගණිත ඉතිහාසයේ වඩාත් ප්‍රසිද්ධ හා කුතුහලය දනවන ගැටලුවකි. ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය ගැන කිසිදා අසා නැති කෙනෙකු සොයා ගැනීම දුෂ්කර ය. එය බොහෝ පොත්වල, කාටූන් වැඩසටහන්වල, චිත්‍රපටවල සඳහන් වේ. මෙම ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය ඉතා ප්‍රසිද්ධ සහ සරල ප්‍රමේයයලකි. එය මෙසේ ය.

ප්‍රමේයය 1 (ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය)

`a^n + b^n = c^n` සූත්‍රයට `n> 2` සඳහා පූර්ණ සංඛ්‍යා විසඳුම් නොමැති බවයි.

පියරේ ද ෆර්මැට්

මෙම සරල පෙනුමැති සමීකරණය සියවස් ගණනාවක් තිස්සේ ගණිතඥයින් ආකර්ෂණය කර ඇත. එය ප්‍රථම වරට ප්‍රකාශ කරන ලද්දේ ප්‍රංශ නීතීඥයෙකු සහ ආධුනික ගණිතඥයෙකු වන පියරේ ද ෆර්මැට් (Pierre de Fermat) විසින් 1637 දී පමණ පැරණි ග්‍රීක වීජ ගණිත ග්‍රන්ථයක් වන ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියාවේ Diophantus විසින් රචිත Arithmetica හී පිටපතක ආන්තිකයෙනි (Marigin එකක). ෆර්මැට් මෙසේ ලිවීය.

“ඝනකයක් ඝනක දෙකක එකතුවක් වීම, හතරවන බලය හතරවන බල දෙකක එකතුවක් වීම හෝ සාමාන්‍යයෙන් දෙවැන්නට වඩා වැඩි බලයක් ඇති ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් සමාන බල දෙකක එකතුවක් වීම කළ නොහැක්කකි. මම [මෙම ප්‍රමේයය සඳහා] සැබවින්ම කැපී පෙනෙන සාධනයක් සොයාගෙන ඇත, නමුත් මෙම මායිම (Margin) එය අඩංගු කිරීමට කුඩා වැඩිය."

Arithmetica  හී 1621 සංස්කරණය,
 ෆර්මැට්  කියූ ඔහුගේ  සාධනය අඩංගු කිරීමට
 නොහැකි තරම් කුඩා වූ එහි දකුණු පැත්තේ
ආන්තිකය (Margin).

අවාසනාවන්ත ලෙස, ෆර්මැට් කිසි විටෙකත් ඔහුගේ සාධනය වෙනත් තැනක ලියා නොතිබූ අතර, එය කිසිවෙකුට හෙළි නොකර 1665 දී ඔහු මිය ගියේය. ඔහුගේ ප්‍රකාශය වසර 30 කට පමණ පසු ඔහුගේ පුත් සැමුවෙල් විසින් සොයා ගන්නා ලදී, ඔහු ඔහුගේ පියාගේ සටහන් මරණින් පසු ප්‍රකාශයට පත් කළේය.

ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය එතැන් පටන් ගණිතඥයින්ට ඇති විශාලතම අභියෝගයක් බවට පත් විය. බොහෝ දෙනෙක් සාධනයක් හෝ ප්‍රතිඋදාහරණයක් (Counterexample) (ප්‍රමේයය උල්ලංඝනය කරන සංඛ්‍යාවක් හෝ සංඛ්‍යා සමූහයක්) සොයා ගැනීමට උත්සාහ කළ නමුත් කිසිවක් සාර්ථක වූයේ නැත. `n` හි නිශ්චිත අගයන් සඳහා සමහර සාධනයන් සොයා ගන්නා ලදී (Fermat විසින්ම `n = 4` වැනි), නමුත් කිසිවක් සියලු අවස්ථා ආවරණය කිරීමට ප්‍රමාණවත් නොවීය.

වයස අවුරුදු 10 සිට ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයයට වශී වී සිටි ඉංග්‍රීසි ජාතික ගණිතඥයෙකු වන ඇන්ඩෲ වයිල්ස් (Andrew Willes) වසර හතක රහසිගත වැඩකටයුතුවලින් පසු සාධනයක් සොයාගත් බව 1994 දී ප්‍රකාශ කිරීමත් සමඟ මෙම පෙරළිය සිදුවිය. ඔහුගේ සාධනය ෆර්මැට්ගේ කාලයේ නොතිබූ වීජීය ජ්‍යාමිතිය (Algebraic Geometry) සහ සංඛ්‍යා න්‍යායේ සමහර දියුණු ශිල්පීය ක්‍රම මත රඳා පැවතුනි.

සර් ඇන්ඩෲ ජෝන් වයිල්ස්

කෙසේ වෙතත්, ඔහුගේ සාධනය තුල වෙනත් ගණිතඥයෙකු විසින් සම සමාලෝචනයේදී සොයා ගන්නා ලද දෝෂයක් අඩංගු විය. Wiles ඔහුගේ පැරණි ශිෂ්‍ය රිචඩ් ටේලර්ගේ (Richard Taylor) උපකාරයෙන් ඔහුගේ සාධනය නිවැරදි කිරීමට තවත් වසරක් ගත කළේය. අවසාන වශයෙන්, 1995 දී  නිවැරදි කරන ලද සාධනය ගණිතයේ වංශකථාවේ ප්‍රකාශයට පත් කළහ. වඩාත්ම විශ්මය ජනක දෙය නම් මෙම සාධනය "Annals of Mathematics" යන ගණිතමය සඟරාවේ පිටු 130ක් තරම් ප්‍රමාණයක් ගෙන තිබීමයි. 

වයිල්ස්ගේ සාධනය ගණිතයේ විශිෂ්ටතම ජයග්‍රහණවලින් එකක් ලෙස ප්‍රශංසාවට ලක් වූ අතර ඒ සඳහා ඔහුට 2016 දී Abel ත්‍යාගය (ගණිතය සඳහා වූ නොබෙල් ත්‍යාගය) වැනි බොහෝ ගෞරව සහ සම්මාන හිමි විය.

ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයය ෆර්මැට් විසින් ප්‍රථම වරට ප්‍රකාශ කළ දින සිට වසර 350 කට වැඩි කාලයකට පසුව දැන් නිල වශයෙන් ඔප්පු වී ඇත. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු නොලැබේ:

• ෆර්මා සතුව ඇත්තටම වලංගු සාධනයක් තිබුණාද නැත්නම් ඔහු වැරැද්දක්/බොරුවක් කළා ද?
• ඔහුට සාධනයක් තිබුනා නම්, එය කෙබඳුද? එය දැනට ඉදිරිපත් කර ඇති සාධනයට වඩා සරල හෝ සංකීර්ණ වූවා ද? එය ඔහුගේ කාලයේ දන්නා ක්‍රම භාවිතා කළා ද? නැතිනම් ඔහු අලුත් ඒවා නිර්මාණය කළා ද?
• වයිල්ස්ගේ සාධනයට වඩා සරල සාධනයක් තිබේ ද?
• ගණිතයේ හෝ විද්‍යාවේ වෙනත් ක්ෂේත්‍ර සඳහා ෆර්මැට්ගේ අවසාන ප්‍රමේයයේ කිසියම් යෙදුම් තිබේ ද?

මෙම ප්‍රශ්නවලට කිසිදා නිශ්චිතව පිළිතුරු නොලැබිය හැකි නමුත් ඒවා ගණිතඥයින් සහ ගණිතඥයින් නොවන අය අතර කුතුහලය සහ නිර්මාණශීලීත්වය දිගටම ප්‍රබෝධමත් කරනු ඇත.

-Ashan Jayamal-