මිට පෙර ද මෙවැනි ආකාරයේ ගණිතමය ඇස්බැන්දුමක් සාකච්ඡා කර ඇත. මෙය එම ඇස්බැන්දුම් ඒ දිගුවක් ලෙස දැක්විය හැක. එනම් එම ඇස්බැන්දුම ම කරන තවත් ආකාරයක් පිළිබඳ සාකච්ඡා කිරීම මෙම ලිපියේ අරමුණයි. ඔබ එම ඇස්බැන්දුම කියවා නොමැති නම් මෙම මෙතැනින් බලන්න.
10
ට විශාල සංඛ්‍යාවක් සිතා ගන්නා ලෙස ඔබේ මිතුරෙකුට පවසන්න. ඔබේ මිතුරා සිතාගත් සංඛ්‍යාවෙන් එහි ඉලක්කම් ඔහු කැමති ඕනෑම ආකාරයකින් මාරු කර අඩු කරන ලෙස ඉල්ලා සිටින්න. ( එම සිතා ගන්නා ලද
සංඛ්‍යාවට වඩා වැඩි නම් වැඩි සංඛ්‍යාවෙන් අඩු සංඛ්‍යා අඩු කරන්න.) නිදර්ශනයක් වශයෙන් මිතුරා
සිතු 2583 සංඛ්‍යාව ලෙස ගනිමු. ඔහු
අනුපිලිවෙල මාරු කලවිට
8253 ලැබුනේ යැයි සිතමු. විශාල සංඛ්‍යාවෙන්
කුඩා සංඛ්‍යාව අඩු කලවිට
8253-2583=5670.
එම
සංඛ්‍යාවෙන්න ඔහු කැමති ඉලක්කමක් මකා දමා ඉතිරි අංක ඔබට දන්වන ඔබේ මිතුරාට පවසන්න. ඔබ දැන් මිතුරා පුදුමයට පත් කරමින් ඔබ මකා දමන ලද ඉලක්කම කියන්න.
එය ඔබ සිදු කරන්නේ කෙසේද?
එය පහසුවෙන් පහත ආකාරයට කළ හැක.
මෙම ඇස්බැන්දුම ද සිදුකරන්නේ පෙර ඇස්බැන්දුම කර ආකාරයෙන්මයි. මිතුරා දන්වන ලද ඉලක්කම් වල එකතුව
ගන්න. එවිට ලැබෙන පිළිතුරට ආසන්නම නමයෙන් ඉතිරි නැතිව බෙදිය හැකි අංකය සොයා ගන්න. උදාහරණයක්
වශයෙන්, 5670 න් මකා දමන ලද්දේ දෙවන අංකය (6) නම් ඔබට දන්වන ඉලක්කම් වනුයේ 5,7 හා
0යි. ඒවා එකතු කළ විට 5+7=12. එම සංඛ්‍යාවට වෙනත් සංඛ්‍යාවක් එකතු කිරීමෙන් පසු ඉතිරි
නැතිව බෙදිය හැකි කුඩාම සංඛ්‍යාව 18 වන බව ඔබට පෙනේ. එනම් එකතු කළ යුතු සංඛ්‍යාව 6
ය. එසේ නම් මකා දමන ලද අංකය 6 ය.
3197-1973=1224.
ඔහු මකා දමන ලද අංකය තුන්වන අංකය
(2) නම් , ඔබට දන්වන ඉලක්කම් වනුයේ 1,2,4
ය.
දැන් ඔබට මිතුරා මකා දැමු ඉලක්කම අනුමාන කළ හැකිද? ඔබට දන්වන ලද ඉලක්කම් වල එකතු කල විට 1+2+4 = 7. එම
සංඛ්‍යාවට වෙනත් සංඛ්‍යාවක් එකතු කිරීමෙන් පසු ඉතිරි නැතිව බෙදිය හැකි කුඩාම සංඛ්‍යාව
9 වන බව ඔබට පෙනේ. එනම් එකතු කළ යුතු සංඛ්‍යාව 7 ය. එසේ නම් මකා දමන ලද අංකය 7 ය.
මීට අමතරව මෙම ඇස්බැන්දුම සිදු කිරීමේදී ඔබට දන්වන ලද අංකවල එකතුව නමයෙන් බෙදෙනවා
විය හැකිය. (නිදර්ශනයක් වශයෙන් 4 හා 5). එවිට මකා දමන ලද අංකය 0 හෝ 9 වේ.
අප හට නිරීක්ෂණය කර ගත වීමට හැකි වූයේ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් සහ එහි ඉලක්කම් වල
අනුපිලිවෙල වෙනස් කල විට ලැබෙන සංඛ්‍යාවෙත් අතර වෙනස 9 න් බෙදිය හැකි බවයි.
අපි මෙය සාධාරණ ගණිතමය ආකාරයට බලමු. මෙම ගුණාංගය ඉලක්කම් දෙකක් මාරු කිරීම සඳහා පවතින
බව අපට ඔප්පු කළ හැකි නම්, එය නැවත නැවත යෙදීමෙන් ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් සඳහා ද එම ප්‍රතිඵල
රඳා පවතින බවයි.
`10^j`සහ `10^k` යන ස්ථාන වල a සහ b ඉලක්කම් මාරු කරනවා ලෙස ගනිමු. මෙහි `j ,k` යනු ධන පුර්ණ සංඛ්‍යා දෙකකි සහ `j>k`
එවිට සංඛ්‍යා දෙක අතර වෙනස
`(a10^j+b10^k )-(a10^k+b10^j )`
` = a(10^j-10^k)+b(10^k-10^j)`
`=a(10^j-10^k)-b(10^j-10^k)`
` =(a-b)(10^j-10^k) `
`= (a-b)10^k (10^(j-k)-1)`
සෑම n ධන පුර්ණ සංඛයාවක් සඳහාම `10^n-1` , 9 න් බෙදේ. මෙය පහසුවෙන් සාධනය කල හැක. සංඛ්‍යා න්‍යාය (Number Theory) පිලිබඳව අවබෝධයක් ඇති පාඨකයන්ට එම සාධනය කියවා තේරුම් ගන්නා ලෙස ඉල්ලමි. ඒ පිලිබඳ ව අවබොධයක් නොමැති නම් එය නොසල්ක හරින්න. අවසාන වශයෙන් අපගේ නිගමනය වනුයේ, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් සහ එහි ඉලක්කම් වල අනුපිලිවෙල වෙනස් කල විට ලැබෙන සංඛ්‍යාවෙත් අතර වෙනස 9 න් ඉතිරි නැතුව බෙදිය හැකි බවයි.
සාධනය 1:
`10 \equiv 1 (mod 9)`
n යනු ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් යැයි ගනිමු. එමනිසා,
`10^n \equiv 1 (mod 9)`
`10^n-1 \equiv 0 (mod 9)`
එම නිසා සියලු `n` ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහා, `(10n−1)`, 9 න් ඉතිරි නැතුව බෙදිය හැකි බව අඟවයි.
Comments
Post a Comment