එක්තරා මිනිසෙකුට ජලය ලීටර් දෙකක් මැන ගැනීමට අවශ්‍ය වුණා. ඔහුගේ නිවස පිටුපසින් ගලන කුඩා දොළ පහරෙන් ජලය ලබා ගත හැකි වූවත් ඔහු සතුව තිබුණේ ලීටර් පහ භාජනයක් හා ලීටර් තුනේ භාජනයක් පමණි. මෙම බදුන් තුළ කිසිදු ආකාරය මිනුමක් නැත. මෙම බඳුන් දෙක පමණක් භාවිතා කරමින් ලීටර් හතරක් මැන ගන්නේ කෙසේද?
***
මෙම ගැටලුව පිළිබඳ පළමු වාර්තා වනුයේ 13 සියවසේදි පූජක ස්ටේඩ් හි ඇල්බට් (ක්‍රි.ව. 1187 - 1260)විසින් රචිත ඉතිහාස
වාර්තාවල ය. මෙම ගැටලුව වරින් වර විවිධ
නම්වලින් විවිධ මුහුණු වර්ග වලින් විවිධ පොත්පත්වල සඳහන් වේ. මෙම ගැටලුව
විශ්ව වීම ඉතාමත් විනෝදජනක ය. ගැටලුව විසඳීමට මම ඔබට අවස්ථාව
සලසමි. මෙම ලිපිය ඉදිරියට කියවීමට පෙර මෙම ගැටලුව විසඳීමට
උත්සාහ කරන ලෙස මා ඔබෙන් ඉල්ලා සිටිමි.
***
මෙම ලිපියේ දී මෙම ගැටලුව විසඳීමට සාම්ප්‍රදායික නොවන ක්‍රමයක් පිළිබඳව සාකච්ඡා කරමු. මෙම ලිපිය තුලින් අපි සාකච්ඡා කිරීමට යන්නේ බිලියඩ් බෝර්ඩ් ක්‍රමය (Billiard Board Method) පිළිබඳවයි. ඒ මන්ද යත් මෙහි විසඳුම ඇද ගැසුණු රොම්බස හැඩැති බිලියඩ් බෝර්ඩ් එකක් හා කිසියම් නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක් වෙත ගමන් කරන තෙක් එම බිලියඩ් පුවරුවෙහි වැදී පොළා පනින (bump) බෝලයක් හා රඳා පවතී. අප රූපය 1 දක්වා ඇති ආකාරයට රොම්බස හැඩැති බිලියඩ් බෝර්ඩ් එකක් භාවිතා කරමු. එහි ඇති සියලුම ත්‍රිකෝණ සමපාද ත්‍රිකෝණ වෙයි. මෙම ගණිතමය බිලියඩ් බොඩ් එකෙහි කිසිදු ඝර්ෂණ බලයක් නොමැති අතර සියලුම පොළා පැනීම් ප්‍රත්‍යස්ත වේ. (එනම් කිසිදු ශක්ති හානියක් සිදු නොවේ.) එම නිසා මේසයේ කෙළවරට 60° කෝණයකින් මේසයේ පැත්තට වදින පන්දුවක් එම කෝණයෙනම පරාවර්තනය වන අතර ඕනෑම පන්දුවක ගමන් පථය ත්‍රිකෝණවල පාද අනුගමනය කරයි.
මෙම රොම්බස හැඩැති බිලියඩ් පුවරුවෙහි ත්‍රිකෝණ පිළිබඳව විශේෂ අවධානයක් යොමු කලේ එවා විශේෂ ඛණ්ඩංක පද්ධතියක් සපයන බැවිනි. ඛණ්ඩංක (x,y) හි, x තිරස්වද, y උඩු විකර්ණවද, සලකුණු කරයි. 1 රූපය බලන්න.
1 රූපය
පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ ඔබ බෝලය (5,0) ලක්ෂ මත තබා බෝලයට පහරදුන් විට ත්‍රිකෝණවල පාද ඔස්සේ ගමන් කරන මාර්ගය යි. එය (2,3), (2,0), (0,2), (5,2) සහ (4,3) ආදී වශයෙන් විවිධ ලක්ෂ වලින් නැවත නැවත පොළා පනිමින් ගමන් කරයි.
3 රූපය
පහත දැක්වෙන GIF එකෙහි, අපි පෙර සාකච්ඡා කළ දේ නැවත animation එකක් ඇසුරෙන් පෙන්වා ඇත.
අපට ලැබුනු ඛංණ්ඩාංක දෙස විමසිල්ලෙන් බලමු.
|
පලමු පහර |
දෙවන පහර |
|
(5,0) |
(0,3) |
|
(2,3) |
(3,0) |
|
(2,0) |
(3,3) |
|
(0,2) |
(5,1) |
|
(5,2) |
(0,1) |
|
(4,3) |
(1,0) |
|
|
(1,3) |
|
|
(4,0) |
ඇති විය හැකි ව්‍යාකූලතාවයන් මඟ හරවා ගැනිමට අපි 5L බඳුන A ලෙසද, 3L බඳුන B ලෙසද නම් කරමු.
පලමුව, A බඳුන පුරවා ගනිමු. එවිට බඳුන්
වල තත්වය A=5L සහ B=0 L වේ. එය අපි (5,0) ලෙස ලියමු.
දෙවනුව, , A බඳුනේ ජලය B බඳුනට වක් කරමු. එවිට , A බඳුනේ ජලය 2L ඉතිරි වේ. තවද, , B බඳුන සම්පූර්ණයෙන්ම 3L වලින් පිරි ඇත. එවිට, බඳුන්වල වත්මන් තත්වය (2,3) වේ.
දැන් ,B බඳුන හිස් කරන්න. එවිට බඳුන් වල
තත්වය (2,0)
A බඳුනේ ඇති
සියලුම ජලය B ට වක් කරන්න:
(0,2)
නැවත A බඳුන පුරවා ගන්න: (5,2)
A හි ඇති ජලය B බඳුන පිරෙන තෙක් වක් කරන්න:
(4,3)
අපිට දැන් 4L මැනගෙන ඇත.
A හා B බඳුන් වල පරිමා, බෝලය (5,0) හි
තබා පහර එල්ල කල විට එය පොලා පනින ලක්ශ්‍ය වල ඛණ්ඩාංක වලට සමාන වේ.
මෙම අපූර්ව ක්‍රමය සොයා ගන්නා
ලද්දේ බ්‍රිතාන්‍ය ජතික ගණිතඥ M.C.K. Tweedie මහතා විසින් ය. මෙම ක්‍රමය
ලොවට ඉදිරිපත් කරන විට ඔහු විසිවන වියැති විය.
***
Tweedie, M. C. K. (1939) “A graphical method of solving tartaglian measuring puzzles,” The mathematical gazette, 23(255), pp. 278–282.
Stevenson, J. (2017) ‘Three Jugs Problem ’, (October), pp. 4–10.
Comments
Post a Comment